正方体的体积公式是什么（长方体的体积等于什么）

在“长方体、正方体的体积计算公式”教学中，到底哪一种推理占主导呢？笔者觉得应该是演绎而不是归纳。如果是归纳，计算公式的产生过程就是一个“发现”的过程。如果是演绎，计算公式的产生过程就是一个“抽象”的过程。数学知识的产生有发现的因素，但更多的应该是抽象的过程。皮亚杰提到过“反身抽象”也叫自反抽象，这是数学抽象的主要方式。如果以归纳推理为主要方式，整个教学过程只突出一种动作——“算”。在算的过程中发现数字之间的相乘关系，然后得出一般结论，“长方体的体积=长×宽×高”，接下来就是记忆公式和大量运算。这样的学习过程是机械的，而且这样的“发现”也是浅层的。因为数字之间的相乘关系的发现在二年级就能做到，如“5○4○2=40”。数学抽象即反身抽象，是对自己动作的反思及抽象。这种抽象建立在主体两种动作协调之上，在本课中，在测量长方体体积过程中，一种动作是“摆”的动作，另一种是“数”的动作，两种动作协调的结果是“算”的结论。

皮亚杰说：小学十一至十二岁同学，具有体积守恒及三维测量的心理结构。学生掌握了长方体的长、宽、高改变时，内部体积或积木中所包含木块可以不变这一观念，学生知道一些小木块摆成的3×1×4与3×2×2这样的长方体它们的体积是不变的。《课程标准》也指出：以图形测量为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，了解掌握测量的基本方法，从而发展学生的空间观念。为了让学生感受“有温度的数学”思想，通过“摆”的直观动作及“数”的思维动作的协调，抽象出长方体、正方体的体积计算公式。在一系列思维活动中，自己构造直观，努力使学生空间观念的最近发展区最大化。同时此课也有统一“测量”思想与方法的意图，二年级的一维测量、三年级的二维测量、五年级的三维测量，都是在经历一个由“数”到“算”的过程。

在探索过程中，通过两种动作的协调和两种水平的抽象，得出长方体和正方体的体积计算公式，第一次抽象是“客体抽象”，以实际操作为依据，在操作中通过“数”的动作，初步抽象出长方体的体积等于体积单位的数量。第二次抽象是将第一次“数”的动作内化，进一步抽象出“长方体的体积=长×宽×高”。在第一次用小正方体操作时，学生已经知道长方体的体积就是所含体积单位的数量，只是这种认识还没有内化。通过操作，便于学生将“摆长方体”的动作内化为自己的知识结构，这一结构是学生继续同化后续知识基础。在学生的测量动作完成后，不必让学生观察体积和长、宽、高的关系，因为这是“找规律”，是浅层“发现”。让学生说一说如何测量长方体的体积，这仍然是以“数”为前提，但这时的数已经不止是“动作”，里面有了充分的“运算”，学生已经跳过动作表征，会用符号表征体积，即“长方体的体积=长（每排体积单位数）×宽（排数）×高（层数）”。数学学习要让学生探寻数学产生的本原，即有温度的数学。操作后急于得出结论，有悖认知逻辑，发生认识论认为，认识的发展是随知识本身的发展而进行的。在最初，人们测量长方体的体积时可能经历漫长的“数”体积单位的阶段，虽然在课堂上我们要极力缩短这一过程，但也不能太过着急。在这个操作的过程中应突出这样一点——活动内化，如果始终停留在实际操作，却未能在头脑中实现必要的重构，就根本不可能发起任何真正的数学思维。这样，在学生有了“长方体的体积=体积单位的数量”这一结构后，抽象水平就要有所提升，进入皮亚杰所谓的“反身抽象”阶段，就是对抽象的抽象。这时学生得到的结论是“长方体的体积体积单位的数量”，对于能测量的长方体很好解决，不方便测量体积的长方体怎么办？这时就会引起学生思考，长方体的长、宽、高和体积单位的数量有什么关系？一系列的问题在学生头脑里迅速翻炒，前后对比，发现长方体的长就相当于每排体积单位的数量……于是又得出结论“长方体的体积=长×宽×高”，学生开始用思维把握对象。尘埃落定，在这个不断探索、不断抽象的过程中，总是伴随着学生的不断发现，在这个过程中，学生体验到学习数学的乐趣。

对于长方体和正方体的体积公式，我们不应满足帮助学生很好的掌握体积公式，然后机械的套用它进行所谓的解决问题，而是应十分重视帮助学生很好的理解体积公式，要让学生经历公式的产生过程，这个过程是什么？就是“数体积单位”。皮亚杰发生认识论的基本假设是，“儿童逻辑上的进展与相应的心理形成过程之间存在着一种平行关系”，儿童认知的发展，是通过科学概念本身的发生、发展进行的，教师传授学生

一个新概念，应尽可能按其自发的认识过程进行，让学生在课堂上感受到什么是“有温度的数学”。长方体或正方体的“体积公式”是一个怎样的发展过程呢，对儿童来讲，毫无疑问它是一个“数体积单位”的过程，小学生分阶段经历了长度测量、面积测量、体积测量。从测量的维度看，恰好是从一维测量到二维测量，再到三维测量的过程，测量的实质就是单位累加的过程。但我们要在这样累加的过程中进行必要的抽象，积累活动经验很重要，但结果同样重要。我们的数学学习最终还是要抽象出逻辑数学知识，大道至简，我们探究出来的体积公式，仍然是在“数体积单位”，只是数的更简洁，这也就是数学的魅力所在。这正向皮亚杰认为的那样，人类的知识不管多么高深、复杂，都可以追溯到人的童年时期。

本课的核心问题是“怎样测量体积更快？”核心目标是“经历体积公式的形成过程”。学生开始在“数”体积单位的数量时，各有各的标准，有的横着数有的竖着数，但无论怎么数，都是先数一层再数几层。对于体积单位数量每位同学都不是一个一个数的，此时学生已经开始进入形式运算阶段。在解决问题过程中，学生的逻辑运算思维已经占据很大一部分，确切的说，学生是边数边算。开始学生进行一个顺向思维的测量，有的摆长方体，再数体积单位的数量，有的摆出长、宽、高，再算体积是多少。但光有这样一种操作式的测量还不够，还不足以引起学生对体积单位数量的关注，接下来要让学生思考“怎样测量更简单？”，学生马上想到用“公式”测量更简单，这个过程中，就是“数学化”或“结构化”的过程。开始用小正方体摆满了测量长方体的体积，然后知道只测量长方体的长、宽、高也可以知道体积。在这个过程中，学生的“数”与“算”两种动作协调在一起，逐步抽象出“长方体的体积=长×宽×高”，这就将学生已有的测量手段“结构化”了，这也是学生测量动作不断内化的结果……

这样一来，体积公式悄然形成。