命题：若椭圆的焦点为
，离心率为
为椭圆上任意一点，则有
。证明：如图1，椭圆的准线方程为
和
。由椭圆的第二定义得
，化简即得说明：若椭圆的焦点在
轴上，则有
。我们把椭圆上的点到两焦点的距离
称为焦半径，而
（或
）、
（或
）称为焦半径公式。
巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。
一、用于求离心率例1如图
为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于
四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率
。分析：如图，连
，则
，由焦半径公式得
，即
。所以
，所以
。
二、用于求椭圆离心率
的取值范围例2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。分析：设的坐标为
，则
由得
故
，即
，又
。所以
。 三、用于求焦半径的取值范围例3若是椭圆
上的点，为椭圆的焦点，求
的取值范围。分析：不妨设为椭圆的左焦点，而
，则
。故
。所以
。 四、用于求两焦半径之积
的最值例4若为椭圆
的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。分析：易知
由
知
，所以的最小值为
，最大值为
。 五、用于求三角形的面积例5 若是椭圆
上一点，为椭圆的左、右焦点，且
，求
的面积S。分析：易知
。由余弦定理得
。解得
。所以
六、用于求点的坐标例6 若为椭圆
上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。分析：由
，
及得
，解得
，所以
。 七、用于证明定值问题例7已知
为椭圆上两点，
为椭圆的顶点，F为焦点，若
成等差数列，求证：
为定值。分析：不妨设
，由成等差数列得
，即
。化简得
，
所以为定值。
八、用于求角的大小例8 如图3，设椭圆
与双曲线
有公共焦点，为其交点，求
。
分析：设的坐标为
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
，
，消去
得
，
。所以
所以
。 九、用于求线段的比。例9过椭圆
的左焦点作与长轴不垂直的弦
的垂直平分线交
轴于
，则
。分析：如图4，设
的坐标分别为
，AB的中点为
，则
。
由
两式相减并化简得
。
所以
。
所以AB的垂直平行线方程为
。令
，则
，故N的坐标为
所以
，所以
。
–END–
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