混沌是典型的非线性现象，也是自然界中存在的普遍现象。科学家们断言，混沌现象像春天的桃花一样的普遍。

科学家们为了研究混沌现象，还作了大量的科学实验。如物理学中的贝纳（Benrd﹚对流实验、卡曼（Karmen﹚渦街、激光器、化学反应中的“化学钟”、生物和生态学中的自组织、…。陈洪博士还分析了一个人们十分熟悉的“水的行为”的混沌模型。他说:“当温度低于00C时，水分子震动缓慢，以保持结晶秩序（冰﹚﹔把冰块加热到00C时，冰开始融化，水分子震动加剧，分子间断裂速度大于形成速度，水分子被迫在秩序和混沌之間做出非此即彼的选择，持续加热，水分子完全处于混沌状态: 流体阶段。然而，只要加热不中断，如果我们用显微镜仔细观察，在这种混沌的水分子中，仍然有成千上万极其微小的、有秩序的、呈现某种结构的区域，水分子经常在这个区域边缘聚合和解聚，而这个区域在什么时间、什么地点出现是不确定的，因此被加热的水完全混乱的没有任何结构的系统，我们说这个系统接近混沌，当温度下降接近00 C时，这些区域的面积变大，存在的时间也相对延长。当温度降到00C时，形成一种冰水化合物，此时混沌和秩序达到平衡，即结构产生的秩序和流体产生的混沌刚好平衡。”

通过这个模型，表现出混沌最明显的两个特征，他说:“如果从更直观的角度考察，混沌有两个表现特征:

（1﹚、混沌只能产生于非平衡态系统。…﹔

（2﹚、系统在混沌状态暂时存在某些精细结构，而这些结构产生的时间和地点是随机的”，在数量上看“比自然界存在的有理序（周期性﹚、无理序（准周期性﹚要大得多，在层次上看，更'高级'。”

混沌的定义和特点

一、混沌的定义

现代科学上的“混沌”一词来自英文“chaos”，译为“渾沌”、“混合”、“无规律”等，1975年因李天岩和约克发表了《周期3意味混沌》论文后才首次在学朮界引进“chaos” 这个词。但是40多年来科学家对混沌尚无一个统一的科学定义。如，著名数学家伊恩·斯图尔特（lan stewert﹚给出的定义是“内在随机性的简单模型所具有的、产生极度不规则行为的能力”，英国扎奥丁·萨德尔和艾沃纳·艾布拉姆斯博士收集了混沌的三个定义:“一种无周期的秩序”“一个简单的确定（类似时钟工作模式的﹚系统里明显的随循环行为”“在确定的非线性系统中，对不稳定的非周期行为的定性研究”《注38》郝柏林院士说:“混沌决不是简单的无序，而是不具备周期性和其他明显对称性的有序态。在理想情况下，混沌状态具有无穷的内部结构，只要有足够精密的观察手段，就可以在混沌态之间发现周期或准周期，以及在更小的尺度上重复出现的混沌运动。”收集一些专著、文献上关于混沌的定义和解释有:

混沌是确定系统的随机运动

混沌是简单方程的随机运动

混沌是貌似随机的事件背后存在着内在联系

混沌是一种貌似无规则行为的规律性

混沌是不规则行为的规律性

混沌是伪装成随机的规律性

混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为（内在随机性﹚

………

二、混沌的特点

混沌一词的定义，虽然是一个难以界定的概念。但是，从各个定义和现象中不难看出混沌至少具有以下5个特点:

1、混沌是确定系统的内在随机性

（1﹚、首先，不需附加任何随机因素而由系统内部自发产生的随机现象，这种随机现象有别于一般的外随机，所以又称为内随机、或内禀随机或“伪”随机。“伪”，指貌似外随机:

（2﹚、产生内随机的系统的输入是确定的，所以是在确定系统中产出的，这有别于因外随机作用而产生的外随机﹔

（3﹚、混沌是一种非线性现象，是一种自由度并不多的、源于多体效应的非大数现象，有别于遵循大数现象的外随机﹔

（4﹚、内随机产生的充分而必要的条件（简称充要条件﹚是: 开放、远离平衡、非线性区、控制参数超过“阀门”。

2、混沌是自然界普遍存在的一种形式

20世纪70年代以前，人们认为现实世界只有四种运动形式: 必然现象、随机现象、模糊现象、突变现象。而且必然现象的必然规律（如牛顿定律、相对论﹚与随机现象的随机规律（如大数定律、统计定律﹚是对立的。然而，混沌理论诞生以后，混沌现象作为过去一直存在却又未认识的新的运动形态，不仅把过去现实世界的四种运动形式变成了5种，而且搭起了必然现象与随机现象的桥梁，修正了长期以来形成的牛顿力学决定论的形式，揭示了牛顿理论本身所包含的随机和混沌。因为混沌动力学中的随机性与统计物理、量子力学中的随机性是根本不同的: 统计物理和量子力学中的随机性是由外部产生的，它们以随机作用项、随机系数的形式进入动力学系统，而且当时物理学家并不认为粒子在作随机运动。作热运动的分子，由于数量太大只能寻求统计平均值，而单个微观粒子的不确定性又是观测仪器造成的，所以把随机性都归结为因受外部作用而产生，所以又叫外随机。但是混沌动力学系统（包含保守系统和耗散系统﹚的随机性，不是外部环境强加的，是系统本身固有的、内部自发产生的内在的随机性。是由简单的确定性方程产生的，即是说既产生于确定系统又有別于外随机的新的运动形式，填补了原来相对立的必然与偶然、确定现象与随机现象的鸿沟。

3、混沌是无序与有序的统一体

混沌是无序的，同时又是有序的，无序与有序之间是不能截然分开的。就是说混沌是无规则行为的规律性，是无序中的有序和有序中的无序，是无序与有序的统一体。这主要表现在两个方面:

（1﹚、表现在各种途径通向混沌的道路，往往同时存在或交替地存在着倍周期与混沌、周期振荡与混沌、周期与混沌…等的有序与无序的现象。郝桕林院士说:“混沌转变多发生在非平衡情况，其具体表现就比平衡相变更多样化。目前己经发现多条道路通向混沌。例如，基本周期突然加倍，然后迅速四倍、八倍、十六倍、…乃至混沌（倍周期分叉道路﹚﹔周期振荡与混沌在时间上无规的交替，周期部分的比例渐减，终于完成混沌（陣发混沌道路﹚﹔具有两个或三个非有理比例的准周期运动突然失稳而陷入混沌﹔混沌与周期制交替而终成混沌等等”《注26》

（2﹚、系统进入混沌以后，存在相互嵌套无穷多层次的自组织结构，像俄罗斯套娃一样，一个套着一个、一层套着一层，但越往里尺度越小，如果有足够精确的手段，可以发现在混沌态之间存在周期或准周期运动，并在更小尺度上重复出现混沌。如果用计算机绘制混沌运动的图像，会发现很多周期窗口，窗口之中又有窗口，实际上这些周期窗口就是“嵌在混沌区中的周期解” 《注26》

这些窗口在混沌区是按沙可夫斯基序列排列的:

3， 5， 7， 9，…

3×22， 5×22， 7×22， 9×22，…

3×2n， 5×2n， 7×2n， 9×2n，…

2n，…， 32， 16， 8，4，2，1

显示出明显的规律性。

沙可夫斯基是一位埋没了10多年的数学天才。20世纪60年代，前苏联鸟克兰一位不知明的学者在一个不知名的数学杂志上发表了诸多论文，其中有2篇被后人发现并用他的名字命名为沙可斯基序列和沙可斯基定理。

沙可斯基序列，指把自然数按一种奇特的方式进行重新排列成的一个序列。他认为，任何一个自然数如果不能2整除，必为奇数﹔相反，如果能被2整除，又可分成两种情况，一种情况是能被2除到底，那么此数定为2的方冪﹔另一种情况是不能被2除到底，那么此数等于2的某个方冪再乘上一个奇数。根据这一奇特的思维，把自然数1，2，3，4，…n，从小到大除1以外的所有自然数重新排列如下:

3， 5， 7， 9， 11，…﹔

3×2， 5×2， 7×2， 9×2， 11×2，…﹔

3×22， 5×22， 7×22， 9×22， 11×22，…﹔

3×23， 5×23， 7×23， 9×23， 11×23，…﹔

3×24， 5×24， 7×24， 9×24， 11×24，…﹔

3×25， 5×25， 7×25， 9×25， 11×52，…﹔

………

最后又由大到小排出2的所有方冪，直到25＝64，24＝32，23＝28，22＝4，21＝2，20＝1为止，即

25，24，23，22，21，20，

这是沙可斯基序列。自然界就是如此之巧合，混沌内无穷相互嵌套的精细结构中的周期窗口是按沙可斯基序列排列的。

沙可斯基定理，指如果在沙可斯基序列中，m在n的前面，那么如果存在有m周期点，则一是存在n周期点。显然，在沙可斯基序列中，3排在所有自然数的最前面，按沙可斯基定理，如某个具体的区间迭代有一个周期3的点，则一定有周期是任意自然数的点。可见，11年后李天岩和约克发表的《周期3意味混沌》的结论成了沙可斯基定理的特例。数学呵! 大自然呵! 就是有如此之神奇!

所以，无论是在通向混沌的的道路中，还是在混沌区，在无穷嵌套的精细结构中，总是存在着无序中的有序和有序中的无序，混沌实际上就是无序与有序的统一体。彩票现象是一种混沌现象，也是无序与有序的统一体，要预测彩票就要善于从无序寻找到有序，选好“阀门”，抓准有序。

4、混沌是局部的不稳定而整体稳定

洛侖兹第一个在耗散系统中发现了混沌现象。混沌一个重要的特点是局部不稳定而整体稳定。就其原因是一方面耗散系统内部存在着不稳定性，任何初始条件具有微小差异的相邻轨道将发生指数分离，导致混沌系统的局部不稳定或向外发散﹔另一方面由于耗散系统在演化过程中的能量耗散，运动轨迹又将向吸引子收缩。这样一个要发散，一个又要收缩，成为耗散系统内部的一对矛盾，要解决这一矛盾并同时滿足发散与收缩的需要，混沌吸引子在状态空间中只有通过拉伸与折叠变换，才能使指数型发散的轨道维持在有限范围的吸引子上。拉伸使初始条件的微小差异放大，折叠使系统丧失初始条件所包含的关于系统的信息。各种拉伸与折叠的混沌操作保证了系统整体的稳定性。所以局部的不稳定而整体的稳定是混沌的特性之一。正确理解拉伸与折叠也成为理解混沌的关键，就是说，只有拉伸与折叠同时出现才会出现混沌。

为了理解拉伸与折叠的概念，我们从兰州的拉面谈起。1998年中央电视台曲艺节目抪放了一位高级厨师的拉面绝活，他只拉伸了50个回合，竟把一根面柱拉伸为原来的1/2^50 以下，创造了比头发还细的吉尼斯世界记彔。可见，揉面团做拉面的过程就是一个典型的拉伸与折叠的过程。为了形象地显示状态空间的轨迹，可将一滴红色着色剂放入面团中，然后把面团擀平，发现红色着色剂被伸长，当再折叠过来，会发现存在两层红色着色剂。如果再擀平，再折叠，反复多次，在面团中的红色着色剂便同时被拉伸又折叠，经过足够长时间的操作，原来相邻的两个着色的微粒越来越相互分离，而原来不相邻的两个微粒越来越靠近。据估计，这种操作只需进行20次，最初的的滴着色剂长度会被拉伸到100万倍以上，其厚度可減小到分子水平。显然，这时着色剂与面粉己经充分混合均匀了。

如果从数学的角度，面包师的变換是一个简单的一维映射。

X_(i+1)＝{█(〖2x〗_i 0≤X_i≤1/2@2X_i-1 1/2≤X_i≤1)┤

y_(i+1)＝{█(〖ay〗_i 0≤y_i≤1/2@1/2+ay_i 1/2≤y_i≤1)┤

前面已讲了，彩票也是一个耗散系统，自然也是局部不稳定而整体稳定的，其原因也存在拉绅和折叠，可通过彩票的逻辑斯蒂映射（详见第4章﹚

Cn+1=μCn（1-Cn）

进行简单的计算，就可发现彩票系统的伸长和折叠

令μ＝3

当Cn＝0 代入得Cn+1＝3×0×（1-0﹚＝0

当Cn＝0.5 代入得Cn+1=3×0.5×（1-0.5﹚＝0.75

当Cn＝1 代入得Cn+1＝3×1×（1-1﹚＝0

就是说，Cn＝0～0.5的数通过映射变成0～0.75，伸长了。同样，当Cn继续增大，可计算出Cn＝0.5～1的数通过映射变成0.75～0，反而缩小，折叠了。恰颠倒同一区间。事实上，彩票的逻辑斯蒂映射中的拉伸与折叠，是由控制参数μ控制的。

感兴趣的读者，可作如下的计算实验:

（1﹚、当1＜μ≤2，满足f（x﹚＞1为拉伸，f（x﹚＜1为压缩，由于不存在折叠，所以在μ＜2时不发生混沌﹔

（2﹚、当2≤μ≤4时，折叠程度随μ不断增大，混沌和非混沌间歇地存在﹔

（3﹚、当μ＝4，呈现混沌状态。

5、混沌长期不可预测，短期可预测

人们都知道，随机现象的短期行为是不可预测的，如投掷硬币，哪面朝上或下，每次都是决不可能预测的。但是，随机现象以长期来看，遵循大数现象的规律是可以预测的，如人们常通过统计规律、概率论，进个几率预测。所以以大数现象或多体效应为基础的随机现象是长期可预测而短期不可预测的。然而混沌现象不是大数现象，而是另一种复杂的非线性现象: 组成系统的元素是有限的，各元素之间的相互作用是短程的、动力学的、非线性的，更为重要的前提是混沌系统的输入是确定的，混沌是确定系统的内在随机性，“确定”对于混沌，在短期内是一个关键词。混沌在确定系统中产生，非线性系统的混沌区在控制空间的位置，奇怪吸引子在相空间的位置是确定的，每个吸引域的范围是确定的，奇怪吸引子的分数维或分数维的范围是确定的。如彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）。该方程是确定的，在控制区内等式右边有任一个值，等式左边一定有一个确定的值与之对应，随着迭代次数n的不断增加（不断开奖﹚，相空间的轨迹C0、C1、C2、C3……Cn+1、……，是由公式Cn+1=μCn（1-Cn）完全确定的, 轨迹的集合（流﹚也是确定的，这种确定性与各元素之间非线性相互作用的短程性的结合，便产生了混沌短期预测的可能性，这是内随机与外随机一个明显的区别。但是从长远来看，因蝴蝶效应而不可长期预测，这是一个不以人的主观意识而转变的客观规律。

所以，彩票同天气预报一样只能短期预测，而不能长期预测。被誉为混沌之父的洛侖兹非常感慨的说，“科学再次看到了自己的局限性”“使我们不能预见动力系统的未来，不管我们怎么努力”。

混沌运动的属性

混沌的特点，一般指混沌的内涵。混沌运动的属性，更多指的是混沌的的外延，即混沌系统随时间和空间的演化规律。混沌运动具有明显的 “对初始条件的敏感依赖性、内随机性、非周期性、遍历性、奇怪吸引子、自组织、对称破缺、有限性、普适性、统计性”的十大属性。

1、对初始条件的敏感依赖性

系统的初始条件，指系统最初所在的时间或空间或时空的条件，所以初始条件不完全等于只对时间的开始条件。系统的初始条件，又称系统对初值的依赖性。系统对初值的依赖性存在三种情况:

（1﹚、有的系统存在“遗忘”初值的机制，系统的长期行为不依赖于初值。如，具有渐近稳定吸引子的系统﹔

（2﹚、系统运动的轨迹对初值具有依赖性，但不敏感。如，保守系统等能面上的运动轨迹﹔

（3﹚、系统运动的轨迹敏感地依赖于初始条件。如，混沌运动。

为了直观地理解“敏感地依赖于初始条件”的意义，我们考虑一个中学时学过的迭代运算

Xn＋1﹦4Xn（1－Xn）

＝4 Xn －Xn2

对于初值X0 ，考虑三个相差甚远的初始值X0 ＝0.1， X0 ＝0.100000001， X0 ＝0.1000000001进行迭代，迭代运算不多时，相差不大，但随着迭代次数的不断增加，相差越来越大。当迭代次数达到52次以后，计算出三个初始值的结果分别为0.6349559274，0.0663422515，0.3731772366。可见，原三个相差不到千万分之一的具有微小差异的相邻初始值，经过52次迭代以后，三者之间差异巨大。这就是说，系统中两个具有微小差异的相邻初始状态的两点，其运动轨迹将随指数函数增大。这种混沌运动系统所具有的属性称为对初始条件的敏感依赖性。这是混沌运动系统最本质的特性，也是蝴蝶效应产生的根本原因，也有人称蝴蝶效应就是对初始条件的敏感依赖性。

现实世界的单摆，并不是中学物理课本上的周期运动，而是一个受周期力驱动的阻力摆运动，它的运动方程是

(d^2 Q)/(dx^2 ) + r dQ/dt + g·sin?〖θ 〗＝ A·cos?ωt

其中，θ是摆的偏转角，r为阻尼常数，g是重力加速度，A是振幅，ω固频率，A·cos?ωt是周期驱动外力矩。

由于g·sin?〖θ 〗的存在，上式为非线性运动方程。由于A·cos?θ的存在，摆的运动就是确定系统的内随机现象（即混沌现象﹚。我们发现，当幅值A一旦超过某个阀值时，摆的运动就由周期性变为一种似乎很混乱的非周期性，特别是当θ＝π时，整个摆的运动存在着对对初始条件的敏感依赖性。

彩票之所以具有蝴蝶效应，也正因为彩球在摇奖机中的运动受到存在微小差异的初始条件的影响，敏感地依赖于初始条件的结果（详见第四章﹚。

2、内在随机性

现代科学意义上的混沌,按西方一位科学家通俗地説，就是“简单方程的随机现象”。简单方程，指確定系统，就是说这个确定系统往往要受到控制参数μ的调节，呈现出随机性，只是这种随机性属于内在随机性。从前面的分折也可看出，彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn），当μ∞＜μ≤4 时, C不再是一个确定的变量而仿佛是随机出现的变量。彩票的非线性运动不仅存在有序的无穷嵌套的自组织结构，同时具有内在自发产生的随机现象，这种随机现象不是外来的、与外界噪声无关的、短期可预测而长期不可预测的内禀随机性，这种内禀随机性与外随机性（即受到外来影响、与外界噪声有关的、存在大数现象的数据随机性）是完全不同的， 所以又称为内在随机性或称内随机性或伪随机性。内在随机性和一般所说的随机性（外随机性）在预测中应注意以下差异：

内随机 外随机

产生于確定性系统 产生于随机条件、随机参数和随机作用的动态系统 非大数现象与多体效应 大数现象或多体效应

系统内部自发产生 系统因外部作用被动产生

长期不可预测、短期可预测 长期可预测、短期不可预测

事件前后相互关联 事件前后不关联

有长期记忆功能 没有长期记忆功能

变化有很强的趋势性 变化没有趋势性

属有偏的随机游动 属无偏的随机游动

具遍历性和有限性 无遍历性和有限性

属有偏的概率现象 属无偏的概率现象

对称破缺 对称性

…

因此，彩票的预测应摆脱古今中外、长期以来把彩票误导为外随机和“小概率”现象、而习惯用大量的随机理论、概率论、波动理论和外随机数理统计，寻求彩票这个非外随机的内随机规律。由于内随机毕竟是伪随机，往往涌现一些本属内随机的貌似外随机现象，模模糊糊，是也非是，…白白浪费了不少时间、

3、非周期性

非周期性在日常生活中处处可见。如前面所说的中学物理的单摆，实际际上是非线性、非周期的。但是中学物理之所以把单摆视为简谐振动，具有线性、周期性。其振动周期T为

T＝2π√(L/g)

是因为在两个假设条件下（假设摆球直径远远小于摆长L，把摆球视为一个抽象的、理想的质点﹔假设单摆的视角φ非常微小，如φ＜50 ﹚，把单摆运动设定在一个特殊的极端情况下进行研究的。但是现实世界的摆球无论如何也不可能是无穷小的质点。所以单摆运动正如前面分析的，是非常复杂的、是非线性的、非周期的混沌运动。因此，科学家们常把混沌称为“不规则行为的规律性”、“伪装成随机的规律性”、…。这些都说明，混沌具有两面性: 一是有规律的、有周期的、线性的一面，同时又具有无规律的、非周期的、非线性的一面，而且内在的随机性自发产生于有规律的（如周期、倍周期、准周期﹚确定系统之中。

就混沌吸引子而言，不是周期轨迹，也不是多个周期轨道的叠加（准周期轨道﹚，而是不能分解为周期轨道之和的分形点集。所谓分形（详见第三章﹚就是不规则的、破碎的、杂乱无章的。所以作为分形点集，整体是稳定的，作为分形各点的局部又是不稳是的，这种既稳定又不稳定的混沌吸引子自然表现出非周期性，所以非周期性是混沌运动的一个重要属性。彩票运动的非周期性，受到控制参数μ的调节。（详见第四章﹚

4、遍历性

遍历性，指在有限时间内系统混沌的轨道经过混沌區內每一个状态点，在有限時间内混沌轨线的多种形式会全部涌现出來。刘秉华、彭建华教授说，当考慮李雅普诺夫（Lyapunor exponet）指数λ不仅与参数μ有关，而且与初值x0 有关時，李雅普诺夫指数λ为

※λ﹦lim┬n∞?〖1/n〗 ∑_(ⅰ﹦0)^(n－1)?ln?〖∣F'∣〗 xⅰ

〖﹦lim┬(n→：∞)〗?〖1/n〗 （ln?μ?〖∣1－2X0∣＋ln?μ∣1－2Xⅰ∣＋…＋ln?〖μ（∣1－2Xn－1∣）〗 〗

（注：式中的X相当于彩票中的C）

根据上述公式, 他们说：“如果迭代次数n太少, 式中的取极限得不到满足, 迭代不可能遍历整个吸引子” ，“也就不可能反映系统运动的真实特点”。“为了反映李雅普诺夫指数λ的整体（全局）性，n必须足够大, 通常n等于40～50即可得到满意的結果。”《注43》就是说，彩票运动所遍历的一切可能的运动形态，迭代次数是有限的，这与外随机数理统计的次数越多，精确度越高是完全不同的。

为此, 在进行数理统计時, 应充分运用彩票的遍历性，有目的地进行不同期数的统计。一般而言， 要了解偏态, 红、篮球的统计期数分别为7、13期；要了解一切可能的运动形态, 要充分应用彩票混沌的遍历性, 把统计期数落实在50～70期；要掌握彩球运动的整体规律, 统计期数为250～350期；要掌握单个彩球的运动規律, 统计期数至少要大于600期（注：这里说的期数指中奖期＿迭代次数, 而非开奖期）

5、奇怪吸引子

第一节已介绍了，奇怪吸引子这个概念是1964年法国数学家伊依提出来的。奇怪吸引子又叫混沌吸引子，指在混沌运动中，所有轨道的集合，或者更确切地说，指相空间中无穷多个点的集合。这个抽象的数学概念是为了从整体上把握和研究混沌系统的属性，研究了混沌吸引子的性质（如，对初始条件的敏感依赖性、稳定性、非周期性、自组织性和低分数维…﹚，就反映出了混沌运动的特点。所以奇怪吸引子既是研究混沌运动的重要工具或特征量，又是所有混沌运动的一种特定属性。

在奇怪吸引中，最典型的有洛侖兹吸引子、伊依吸引子、洛斯勒吸引子、达芬吸引子等。如， 洛侖兹吸引子

x ?＝-ax +бy

y ?＝-xz + rx – y

z ?＝xy –bz

伊依吸引子

Xn+1＝1+bY－aXn2

Yn+1＝Xn

洛斯勒吸引子

x ?＝－（y + Z﹚

y ?＝x + ay

z ?＝b + Z（x－c﹚

达芬吸引子

(x ) ?+ ?(x ) ?+ f（x﹚e（t﹚

彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn），就是一个吸引子，是一个平庸吸引子和奇怪吸引子并存的复合吸引子。（详见第四章﹚

2.6.6、自组织

第一章已经介绍了自然界普遍存在的自组织现象。对于复杂的混沌运动，也存在自组织现象，只是这种自组织现象具有一种貌似无序的高级有序性。有序，指存在多样、复杂、精细的无穷嵌套的多层次有序结构。高级，指貌似无序的混沌序。如，在逻辑斯蒂映射Xn＋1﹦λXn（1－Xn）中，当λ∞＜λ≤4时，进入混沌区[λ∞ ，4]，仍存在丰富的动力学規律（如图19﹚:

（1﹚、倒分叉现象。又称为倍周期树的混沌镜像（详见第五章﹚，即从右向左有一个nI逆序，这与3＜λ＜λ∞从左向右的nP顺序（倍周期树﹚成为一种以λ∞为纵坐标相对称的镜像﹔

（2﹚、周期口现象。即λ＞λ∞后大多是混沌，但也存在许多长度有限的小区间，在这些小区间内系统又恢复了有序的秩序，作倍周期运动，如当λ＝3.83附近存在一个肉眼也看得見的窗口3P，随着控制参数λ的逐渐增大，在窗口中又会重复原来的倍周期运动，只是尺寸更小，…，窗口中又有窗口，这些窗口正如前面所说的沙道夫斯基序列排列着，显示出高度周期口的有序性﹔

（3﹚、精细结构。当λ∞＜λ≤4时，进入混沌区，但出现无穷嵌套的多层次精细结构，这个精细结构有几个明显的特点: 无穷多层次﹔像俄罗斯套娃一样，相互嵌套﹔杂乱无章与窗口并存﹔类似无穷多个相同的版本，但尺寸越来越小﹔用计算机可绘制出精美的图像﹔…。

7、对称破缺

“对称破缺”（symmetry breaking inginstabilitie﹚。通俗地讲，它是对称的，又不完全对称，正如城市街道两边公交大巴的公共汽车站，既是对称的，又是对称破缺的，不完全对称。这个概念是20世纪80年代出现在物理学中，是一个比“对称”概念更具深刻理解的重要概念:

第一、对称性是相对的、有条件的，而不是绝对的、无条件的，适合于一切场合。古典的对称方法包括形象对称方法和抽象对称方法。形象对称方法，就是以一定的事实为依据，以对称理论作指导，运用形象思维构造出某些形象对称模型，如图象、符号、表格、…，以对宏现世界作出相应的对称预言。抽象对称方法，指不能用形象对称性而要求事物抽象性质完全对称。如，要研究微观粒子的性质，量子力学中的德布罗依定律就是从对称性原理出发，用抽象对称法大胆提出来的。1924年正在巴黎大学攻读博士学位的法国物理学家德布罗依提交了一篇《量子理论的研究》的博士论文，论文十分简短，只有一页多纸，但却提出了一个波粒二象性公式（后称为德布罗依定律﹚

λ＝h/mγ

把代表波动性的波长λ和代表粒子性的质量m放在一个公式之中。他认为，在整个19世纪在光学上，比起波动的研究方法是过于忽略了粒子的研究方法，但在实验物理上，是否又把粒子的图像想象得太多，而过于忽略了波的图象。由于德布罗依深信这种不对称的抽象思维决不是客观事物所固有，于是他大胆地提出了存在物质波（后叫德布罗依波﹚的假设。6个论文评审委员会的3位教授表示反对，认为德布罗依没有任何实验依据，想象过分大胆，几近荒谬。但他的导师朗之万认为，德布罗依的想法有很大的独创性，可能包含了一些重要的东西，于是给爱因斯坦写了一封信。素来喜欢物理学上对称性的爱因斯坦，一下子就看出了德布罗依的理论的深远意义_揭示了光和物质粒子之间的对称性。他以“已揭开了巨大惟幕的一角”热情地复信给他的好朋友朗之万。1924年11月德布罗依顺利通过了论文答辩，获得了博士学位。1927年初，美国物理学家戴维逊在镍晶体对电子的衍射实验中，验证了物质波，证明了德布罗依公式的正确性。1927年德布罗依荣获了诺贝尔奖。因此，对称性曾被誉为崇高无高的科学美。

但是，1957年，美籍华人李政道和杨振宁发现了宇宙在弱相互作用下不守恒，因此荣获了诺贝尔奖，第一次打破了对称性原理的缺口。1964年，菲奇. 克罗宁等4人又发现了电子共轭_宇称不守恒，这一发现震动了物理学界。同时，粒子物理在SU（N﹚对称理论，包括SU（2﹚、SU（2﹚x、SU（1﹚、SU（3﹚、SU（5﹚等不断取得的理论成果，从而引进了破缺对称性的概念，1980年菲奇. 克罗宁等4人，因对CP不守恒的发现获得了诺贝尔奖。从此，对称性是相对的、有条件的理念在学术界得到共识﹔

第二、对称与破缺是互补的。对称，就意味着协变，在一定条件下的守恒和不变，而在一切条件下都不变的状态只能是静态结构。郝柏林院士说:“最对称的世界没有结构、组织和秩序” 《注26》“非对称创造了现状”（老居里P.Curie的名言﹚。破缺，是对称的破缺，只要有了破缺才会有变化，才会产生丰富多彩的自然现象和过程。自然界很多重大科学发现和发明都来自不对称性。爱因斯坦的狭义相对论是为了改变牛顿力学和电动力学对伽里略变換的不对称性而创立的，爱因斯坦的广义相对论是为了改造牛顿的引力定律，消除惯性系与非惯性系的不对称性，在惯性质量和引力质量的联系上找到突破口而创立的。事实上，物理学每前进一步都要经历着这样的过程: 首先遇到的是表面看来毫无相关的现象理论→透过现象找到它的共性和差异性→发现对称成分和不对称成分，特別是发现破缺的对称→建立在一定条件下的完全对称理论。这表明自然规律的对称是理想化了的抽象对称性，或者说自然界是由对称和非对称互补构成的。

对称破缺不仅存在于自然界“大爆炸”的宇宙和弱相互作用下宇称不守恒的微观世界，也存在于生物大分子中的左右对称破缺，存在于社会经济，大到政府组织、社会结构，小到社会生活中的交通，无不留下对称破缺的脚跡。郝柏林院士说:“车辆和行人要靠右行驰，是一种对称破缺，它限制了个人的‘自由’，却导致了有组织的交通流”“对称破缺是否仅限于时空对称感性有规律地減少? 能否破缺并不具有对称性，甚至看起来杂乱无章的‘有序’状态呢?近20年来数学和物理学的研究提供了大量的启示，说明这个问题在自然界中是非常普遍的现象”“引起对称破缺的基本原因在系统内部，导致破缺的细小事件在远离发生破缺的条件时是无足轻重，可以忽略的，但在破缺点上却起决定作用。” 《注26》

可见，对称破缺现象是混沌运动的一个重要属性，混沌作为一个有序与无序的统一体，对称破缺正是产生有序的原因。如，在彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）中，当μ＞3这个“阀门”以后，系统发生突变（分岔现象）而进入耗散结构状态，耗散结构对应于某种时空的有序状态，破坏了系统原有的时空对称性，出现了对称破缺现象。所以，郝柏林院士说:“有序是对称的破缺”《注26》 彩票的有序产生于对称破缺，彩票对称破缺产生于彩票系统的内部，产生于控制参数的“阀门”，所以要预测彩票就要理解对称破缺，掌握对称破缺产生的条件，选准“切入点”，把好“阀门”开关，使彩票预测永远置于“有序”部分。

8、有限性

混沌运动是局限于有限的而非无限的时空当中。有限，指混沌的轨迹或者说混沌吸引子局限于一个确定的区域，这个区域叫做混沌吸引域，无论混沌系统内部如何不稳定，它的轨线都被像一个磁铁一样被吸引域吸引，而不会走出混沌吸引域。

混沌运动的有限性，不仅表现在混沌吸引域上，还表现在混沌系统的状态变量、控制参数的有界性上，表现在区间到区间的迭代的有限区间上。如，逻辑斯蒂映射Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

状态变量 x∈[0，1]

控制参数 λ∈[0，4]

区间迭代 [0，1] 到 [0，1]

同样，彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）

彩票密度 C∈[0，1]

控制参数 μ∈[0，4]

区间迭代 [0，1] 到 [0，1

混沌运动的有限性，还表现在重构任何一个相空间，也是有限的。如，对于r/s型乐透型彩票，被摇的s个彩球和摇出的r个彩球是有限的，由变量r按混沌时间序列重构的状态变量∑_(i=1)^3?x_i 、∑_(i=1)^5?x_i 、∑_(i=1)^8?x_i 、∑_(i=1)^13?x_i 、∑_(i=1)^21?x_i 、…也是有限的。

同样，对于任何一个彩号码相对应的某期n的涨落高度hn 总是存在一个涨落的上、下限，存在波峰和波谷，如果按混沌时间序列重构一个涨落的状态空间∑_(i=1)^3?h_i 、∑_(i=1)^5?h_i 、∑_(i=1)^8?h_i 、∑_(i=1)^13?h_i 、∑_(i=1)^21?h_i 、…也是有限的。而且从任一个状态空间演化到另一个的状态空间，也是有限的”。 即

∑_(i=1)^n?x_i →∑_(i=1)^(n+m)?x_i 、 Δ∑_n^m?x_i →Δ∑_n^(m^')?x_i

∑_(i=1)^n?h_i →∑_(i=1)^(n+m)?〖h_(i ) 、 〗Δ∑_n^m?h_i →∑_n^(m〖^'〗)?h_i

都是有限的。

（注: Δ∑_n^m?x_i ＝∑_(i=1)^m?x_i －∑_(i=1)^n?x_i 、Δ∑_n^m?h_i ＝∑_(i=1)^m?h_i －∑_(i=1)^n?h_i ﹚

根据混沌运动的有限性的这一属性，在彩票预测中我们可以对任何状态变量，大胆进行相空间重构，从多个角度建立多个以数据驱动的非结构预测模型，捕捉到更多的不同信息，增加杀号个数，減小投资风险，获得更大收益。

9、普适性

混沌运动的普适性，主要指一般的非线性系统中都存在两个类似园周率π、对数log_e?x中的底e、普朗克常数h、光速C、电子静止质量me、…等基本物理常数的2个费根鲍姆常数δ与α。基本物理常数，又叫普适常数。

创建混沌理论的一个重要标志，是费根鲍姆发现了两个普适常数。如（图18﹚《注图6》为逻辑斯蒂映射的两个示意图。2个费根鲍姆常数δ与α，指逻辑斯蒂映射倍周期分岔过程中, 前后分岔横向间距之间、纵向宽度之间的比值都各趋于一个常数δ﹦4.669201609…、α﹦2.502907875…。

即横向分叉间距数列Δ1、 、Δ2 、Δ3、 、…Δm、 、Δm +1、 、…、

δ＝Δm/(Δm+1) →4.669201609…

纵向分叉宽度数列 ε_1、ε_2、ε_3、…、ε_m、ε_(m+1)、…

α＝ε_m/ε_(m+1) →2.50297875…

费根鲍姆在《洛斯阿拉莫斯科学》杂志上谈到他的发现时说:“我原来从二次函数Xn＋1﹦λXn（1－Xn）做起的，经过一段时间的研究，我发现了系统周期保持是怎样发生的，我只用我的可编简单程序的袖珍计算器，现在看来计算器工作得是很慢的，当周期是64的时候，差不多一个鐘头才能做一个循环，当周期进一步倍增时，花的时间就更多了，幸亏我很快领悟到，分叉间距应当是几何收敛的，这使我能从上一个分叉点就预计到下一个分叉点的大概位置，从而提高了试验效率，我之所以成功，就是因为我头一个领悟到几何收敛”。可见，混沌运动自组织的发现，只赋予有“几何收敛”准备头脑的人，也不知倾注了多少科技工作者的日日夜夜!

费根鲍姆常数δ与α不是一般的普通物理常数而是具有普适性的基本物理常数，因为普通物理常数只与个别的物质或体系的特殊性质有关，没有普适性。如，××的密度、比热、…。而基本物理常数常出现在物理学的基本理论之中，是基本物理方程中的基本物理常数，如普朗克常数h和光速c，分别为普朗克量子论E＝hγ和爱因斯坦质能关系E＝mc2 基本物理方程中的基本物理常数﹔还有一类基本物理常数描述某一个领域并具有普适性。如，微现世界领域的电子、质子质量、电子电荷，代数领域的自然对数的底数e，几何领域的周周率π，…。

费根鲍姆为了验证费根鲍姆常数δ与α的普适性，又对许多非线性函数进行迭代试验，发现都得到完全相同的结果，他最后结论，非线性函数中分岔横向间距之间、纵向宽度之间的比值都各趋于一个常数δ﹦4.669201609…、α﹦2.502907875…，这并不是巧合，而是物理学中的基本物理常数，是与π、e、me、 mp …等价的自然界的普适常数。费根鲍姆常数δ与α的重大发现，使费根鲍姆荣获了诺贝尔奖。

彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）自然也存在这两个常数。

10、统计性

混沌运动的主要特征都是由奇怪吸引子表现出来，而奇怪吸引子的存在又使得混沌系统的轨迹表现出一定的规律性，这些规律性既可用功率谱、李雅普诺夫指数等混沌特征量表现出来，又可用统计方法，对混沌运动的内随机性进行描述，就是说混沌运动具有统计性。下面从统计法和内随机统计性两个方面进行扼要的介绍。

人类的统计实践活动己有五千多年历史，而统计理论只有300多年的历史。近代统计学说产生于18世纪末到19世纪末的100多年间。现代统计学为20世纪到现在，特别是20世纪60年代以后，数理统计迅猛发展，并表现出以下特点:

（1﹚、数理统计越来越广泛地应用数学方法。所以彩票混沌预测，对一般彩民而言，至少应掌握“加減乘除四则运算、解方程、几何作图、直角坐标法” 和一般小型计算器的使用﹔

（2﹚、数理统计学的分支或以数理统计为基础的边缘学科不断形成。彩票混沌预测涉及数学、物理、金融、心理学、预测学、方法论、计量学和哲学等多学科领域，应把自己培养成为复合型人才﹔

（3﹚、计算机的诞生和应用，数理统计学的作用日益加强。有条件的的彩民，应使用计算机进行计算、制表、绘图、建立数据库和计算实验甚至摸拟实验等。

一般的统计方法具有以下三个特点:

（1﹚、数量性。数量决定于质量，要寻找混沌运动一切可能的运动状态，一定要保证遍历性要求的50～70次迭代的下限要求。因混沌现象是一种非大数现象，绝不是统计次数越多越准确，而是与遍历性、统计对象和精确度有关﹔

（2﹚、总体性。统计研究的对象不是个体现象的数量方面，而是由许多个体现象的总体的数量方面（涌现性﹚。目前彩票市场上普遍运用的单个彩球的走势统计，对彩票的预测作用不大﹔

（3﹚、具体性。统计所研究的量是具体的量，不是抽象的数量。统计对象必须具体。彩票的预测对象要具体到摇奖机摇出的r个中奖号码，而不是末摇出的（s-r﹚个非中奖号码。不少彩票书籍或讲座、资科，把被摇的全部彩球s个或（s-r﹚个中的奇数、偶数，大数、小数，余数、尾数等作为具体研究对象，白白浪费了不少时间。

统计分析中常用的基本方法有以下两种:

（1﹚、大量观察法。就是对现象的总体（或足够多﹚进行大量观察和分析的统计方法。例如，如果以年为单位对双色球的红球与篮球分别进行整体统计，会发现红球的涨落温度比篮球高而篮球的涨落强度比红球大，所以篮球比红球更容易预测﹔

（2﹚、综合分析法。可分为动态分析法、抽样分析法、相关分析法、回归分析法与指数分析法等。目前彩票市场上多采用频数分布中的钟形分布法。钟形分布法的特点是“两头小，中间大。” 即靠近中间的变量值分布的次数多，靠近两端的变量值分布的次数少。用这种方法一般最多预测1～2个红球中奖号码。因为靠近中间的热号多，逐渐向两端由热变冷。然而摇奖机摇出的彩号码，一般每期红球的热号1～3，冷号1～2个，温号2～4个，这是彩票的非周期性所决定的。彩票的综合分析，应根据内随机的特点，进行动态分析（如第n-1期→第n期﹚、抽样分析（如按混沌序列抽样﹚、相关分析法（如重号、连号分析﹚、回归分析（如近期有偏小循环回归、区间回归﹚、指数分析（如走势和景气分析﹚、克隆分析（如x与h的克隆﹚等。

总之，混沌运动的内随机统计，应与外随机统计严格区分开来，否则会出现很多貌似内随机的外随机统计，搅乱了预测视线，甚至作出错误的预测。

为了对混沌和混沌运动的概念、术语、属性、条件、机制和规律有更深刻、更形象的理解，我们分析一种人们最常见的酒店午会现象。首先，酒店午会系统中每一个元素（午伴）与外界（酒店）要进行能量（售午票、買午票）和信息（午会开始和结束時间等）的交換，这是一个开放的系统。人们在有规律而美妙节奏的乐谱声中翩翩起午，每个午伴的运动都离不开乐谱这个确定系统的制约，因此酒店午会的系统是一个确定性的系统。午会开始,每一个元素（午伴）都要离开平衡位置（原位置）进行一左一右、一上一下的非直线涨落运动，每对午伴在午场中的轨迹与另一对或任意一对的相互作用和轨迹是非线性的，永不相交（不发生碰撞）、永不重复。任何一对午伴与其他午伴在午池中的相对位置也是非线性的，所以酒店午会是一个由有限元素（午伴）组成的非线性系统。任何一对午伴的第一个午姿是第二个午姿的自变量，第二个午姿又是第三个午姿的自变量，…即是说, 任何前一个午姿总是后一个午姿的自变量，而后一个午姿正是前一个午姿根据一定的乐谱迭代出來的，所以每个午伴的午姿变換实际上是一种迭代运算模式。整个午池相当于一个吸引域，凡想跳午的午伴必被午池这个吸引域吸引而进入午池（吸引域），凡已进入吸引域（午池）参加跳午的一定不会离开午池（吸引域），只当午会暂停休息或结束，这个开放的具有吸引域的确定系统才不复存在，吸引域自然消失。酒店午会的短期（几天、几个月）的消失（暂停午会）和产生（开啓午会）是可预测的（酒店通知、营业时间），但长期（几年或几十年）是不可预测的，因几十年后酒店是否存在或改行并不知道。对于每场午会，所有午伴在午池（吸引域）内的运动轨迹都受到控制参数（音乐的乐谱、节奏）的调节，并且从整体上看,运动轨迹不会超越午池的空间和午会的时间，因此酒店午会这个系统整体上是稳定的, 但是对于局部（一对午伴或一部分午伴在每一个角落或午池中的任一个局部区域）是不稳定的。所以酒店午会这个系统是局部不稳定而整体稳定的。

那么, 酒店午会是不是存在混沌现象呢? 可以说午会开始或开始后的一段时间，每一对午伴刚离开平衡位置，并未远离平衡位置或与乐谱还不够协调或还没有全身投入，所以不存在混沌现象。只当每一对午伴远离平衡位置足够远，系统的能量耗散（电能、声能、体能，特别是午伴、指挥、伴奏、伴演者的体能耗散）十分强烈，每对午伴完全进入“午迷”状态, 午伴运动的频率、振幅与音乐美妙的节奏达到高度的统一和协调，不受任何一些微小的干搅（如1、2箋电灯突然熄灭或几个电风扇、空调停运，…）而改变，就是说酒店午会系统的每一个元素远离平衡，相互之間的非线性相互作用进入非线性区，音乐谱的控制参数达到某个“阀门”，这时运动与节奏高度统一协调，产生了一幅最浪漫而优美的画卷（奇怪吸引子），耗散结构这一自组织现象在无穹的涨落中产生，混沌这个有序与无序的统一体自然形成。

酒店午会中混沌现象的产生敏感地依赖于初始条件。酒店午会的初始条件, 如午伴的素质、伴奏的水平、乐器的质量、午厅的豪华程度、酒店的软件服务和硬件设施等。 每个酒店这些初始条件是不同的； 同一个酒店午会每一场的初始条件也存在微小的差异, 如每场午伴不尽相同, 跳午的质量自然不同, 如果午伴全是初学者或部分午盲或实习伴奏员, 午场的午姿会越跳越乱, 甚至发生相互碰撞（轨道相交）, 混沌现象不可能发生。相反, 如果进场的全是专业午蹈演员和國家级交响乐团, 午姿会越跳越优美, 一个午蹈与乐谱高度协调、美妙的音乐与优美而浪漫的画卷（具有耗散结构的奇怪吸引子）展现在人们的视野, 混沌这个有序与无序的统一体在优美的乐曲声中诞生。

耗散结构随乐谱的频率（声音高低）、振幅（声音大小）和分频（泛音）的不同，产生多种相互嵌套的层次, 酒店午会系统究竟处于哪一个层次是随机的, 这种随机性是系统内部自发产生的内禀随机性, 又称内随机性，或伪随机性。多层次耗散结构在吸引域（午池）中所产生的一幅幅美麗的画卷，实际是相空间中各非周期轨道的分形点集。換句话说，在酒店午会的午池（吸引域）中这些分形点集展现在人们眼前的一幅幅浪漫而美麗的画卷，就是酒店午会的奇怪吸引子。所以奇怪吸引子是酒午会产生混沌现象最形象、最生动的几何空间的描述。奇怪吸引子的质量, 直接反射出酒店午会的质量，所以不同的酒店午会，奇怪吸引子也不同, 研究了不同酒店奇怪吸引子的性质, 便可揭示出不同酒店开放的程度、硬软件设施、午伴质量、伴奏的水平以及午会的质量和效果。

酒店午会的混沌现象，進一步验证了科学家们的断言：混沌现象像春天的桃花一样普遍，只要理性的觸角伸向哪里，哪里就能发现，哪里就有混沌。

通向混沌的道路

通向混沌的道路，通俗地说就是混沌是如何产生的? 混沌产生的的途径是什么? 自然界是复杂的，但复杂现象不一定是混沌现象。非线性现象在自然界是广泛存在的，但非线性现象也不都是混沌现象。相反，凡混沌现象，必是非线性现象，也一定是复杂现象。所以科学家们对通向混沌的道路进行了多方面的探索和研究。自然界通向混沌的道路有倍周期通向混沌、阵发混沌、准周期通向混沌和茹厄勒·塔肯斯道路等等多种形式。由于混沌现象普遍存在于自然界，甚至有人说我们现在生存的宇宙，整个银河系就是一个混沌吸引子，所以有科学家说:“条条道路通向混沌”。

1、茹厄勒·塔肯斯道路，是法国的物理学家茹厄勒和荷兰科学家塔肯斯两位科学家在研究前苏联物理学家朗道关于湍流中存在无穷多个频率耦合的振荡现象时提出来的。他们认为，湍流中混沌的产生根本不需要出现无穷多个频率的耦合现象，而只要发现3个互不可公度的频率，系统就会出现混沌（湍流﹚，后来学术界称为茹厄勒·塔肯斯道路。

2、准周期通向混沌，一般指准周期振荡通向混沌，这个过程一般比倍周期、通向混沌的道路复杂得多。所谓“复杂”，指出现的分岔和混沌危机次数多。“混沌危机”（crisis﹚，指混沌吸引子与不稳定的轨道，或混沌吸引子与稳形流碰撞所产生的突变。这种突变一般产生三种情况: 当一个吸引子与其吸引域边界上轨道发碰撞时，混沌吸引子将突然分解，称边界危机（boundar crisas﹚﹔当与混沌吸引子碰撞的周期轨道位于吸引域内部时，混沌吸引子的大小将突然增加，称內部危机（interior crisas﹚﹔当两个或更多的吸引子与一个周期轨道碰撞时，往往会合併为一个混沌吸引子，称为合併危机（attractor merging crisas﹚。

3、阵发混沌道路，是非平衡非线性系统进入混沌的又一条道路。阵发混沌道路，指湍流理论中用来描述流场中在层流、湍流相交而使相应的空间域随机地交替。通俗地说，阵发混沌指系统从有序向混沌转化时，在非线性区，当控制参数达到某一临界“阀门”，系统忽而有序，忽而混沌地无规则的交替振荡，而有序（周期﹚部分的比例逐渐減小，这对随着控制参数的继续变化，整个系统将从阵发混沌过渡为完全混沌。

4、倍周期通向混沌。广泛存在于自然、社会、经济领域的单峰映射之中。彩票的混沌也属于倍周期通向混沌的道路。逻辑斯蒂映射随控制参数在区间[0，4 ]中的变化，在前面“三个典型的混沌模型” 中已进行了详细的介绍。这里我们再简单回顾一下这全过程。

对于逻辑斯蒂映射

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

当0≤λ≤1，存在一个稳定的ζ＝0不动点

当1＜λ≤3，虽有2个不动点，但稳定的只有一个ζ＝1-1/λ 。不动点ζ＝0不稳定。

当3＜λ＜λ∞，出现如下的分岔情况:

λ分岔值 分忿情况 δ

λ1＝3 1分为2

λ2＝3.449489743 2分为4 4.751446

λ2＝3.544090359 4分为8 4.656251

λ4＝3.564407266 8分为16 4.668242

λ5＝3.568759420 16分为32 4.66874

λ6＝3.569691610 32分为64 4.6691

………

λ6＝3.569945137 512分为1024 4.6691

………

λ∞＝3.569945137 周期解到混沌 4.669201609…

（精确度0.000000001﹚

λ为控制参数（相当于彩票中的μ﹚ δ为费根鲍姆常数

从上表可以看出，系统随着控制参数的逐渐增大，经过一系列的分岔点λ1、λ2、λ3、λ4、λ5、λ6、…直到λ∞ ，陸续出现了2周朝→4周朝→8周朝→16周朝→32周朝→64周朝→…2512周朝→…→2n 周期的倍周期现象，直到丧失周期行为出现混沌，在这个通过倍周期通向混沌的过程中，费根鲍姆常数δ却是有规律地不断增大，最终趋近一个极限值。

可见，倍周期通向混沌的过程是有序的_倍周期联级式的变化。这种通过倍周期通向混沌的现象，不仅在生物、生态、社会、经济、…的所有逻辑斯蒂映射中普遍存在，而且对于所有的单峰映射都是通过类似情况由倍周期通向混沌的。单峰映射（unimodelmep﹚，指只有一个极大的映射曲线。彩票的逻辑斯蒂映射前面已经分析了，实际是一个开口向下的抛物线、只有一个最大值，自然属单峰映射，也是通过倍周期通向混沌的（详见第四章﹚。所以，倍周期通向混沌的方式比其它通向混沌的方式更为普遍。

当系统进入混沌区以后，即 λ∞ ＜λ≤ 4时，正如前面分析，多数属混沌，仍存在少量的周期窗口，但当继续增大到4，即λ＝4时，λ处于[λ∞，4 ] 的最边上，这时存在周期为任意整数的解，并且全部都是不稳定的，所以称为混沌的边界危机。

设想当控制参数λ从4开始不再增大，反而从4減小到λ（1﹚ ＝3.6578573511，如（图19﹚《注图7》所示

图19 混沌镜像

混沌区又由1片分成2片，当λ继续減小，2片又分成4片，4片分成8片，8片分成16片，16片分成32片，32片分成64片，…，最后，倒分岔值从右边向左边趋于同一个极限λ∞＝3.569945672…

显然，这与原来从左边向右边λ从小到大趋于λ∞ ，形成了以λ∞ 为对称的镜像现象。即，以λ∞为中心产生了两个相反的序列: 一个从左边向右边的序列为nP序，称为顺序﹔一个从右边向左边的序列为nI序，称为逆序。

通过逻辑斯蒂映射的控制参数λ，在区间[λ∞，4 ] 和区间[4，λ∞ ] 的变化，充分说明:

（1﹚、逻辑斯蒂映射是一个“简单的方程，古怪的结果”﹔

（2﹚、逻辑斯蒂映射是典型的通过倍周期通向混沌的﹔

（3﹚、混沌就是简单方程的随机性﹔

（4﹚、逻辑斯蒂映射存在以λ∞ 为对称的镜像现象﹔

（5﹚、逻辑斯蒂映射是一个无序与有序的统一体﹔

（6﹚、彩票是典型的逻辑斯蒂映射，具有逻辑斯蒂映射的所有特性（图20﹚《注图8》。

图20彩票的逻辑斯蒂映射

研究混沌的方法

混沌现象产生于系统的非线性，但非线性现象不一定是混沌。就是说非线性是产生混沌的必要条件，但不是充要条件。所以分析研究混沌要充分应用计算机这个现代工具，把计算机实验与科学实验结合起来，甚至同理想实验结合起来，定性和定量相结合，既要应用非线性系统一般的研究方法，又要应用混沌系统特有的、迁移的研究方法。在混沌领域常用的方法有: 观测法、频闪法、代替数据法、数值解法、求不动点法、时间序列的吸引子重构法、分形维数法、测度熵法、功率谱法、庞加萊（Poincare﹚截面法、李雅普诺夫指数（Lyapanov expoment）分析法等。在实际应用中，为了获得更精确的结果，一般采用定性和定量相结合的庞加萊截面法、李雅普诺夫指数法和、功率谱法，为了平滑噪声常用平均法。

然而，在彩票混沌的研究分析中，常用迭代的方法、求不动点的方法、差分法、平均法、李雅普诺夫指数法、彩票指数和克隆法、分数维法和一般的假设法、类比法、归纳法、演绎法、逻辑推理法、坐标法、数理统计法、数学模型法等。

关于不动点法和迭代法、差分法，在第一章已作过个介绍，彩票指数和克隆法、分数维法和假设法、模型法等将在第四、五章介绍和应用，数值解法就是把微分方程转化为差分方程来求解，这里再介绍一下功率谱法、庞加萊截面法和李雅普诺夫指数分析法。

1、功率谱分析法

对于己知的某个动力学过程，无论它是混沌过程还是随机过程，一般都可以计算出对应的概率密度。但是，由给定的概率密度来确定动力学过程的逆运算却没有唯一的答案。正如一般彩票市场上流行的寻找大数、小数、奇数、偶数、余数、尾数、热号、冷号、…等的几率，但几率大的这些彩号碼不一定会出现。所以，如果仔细统计动态的其他统计特性，就不能用事件的概率密度来确定动力学过程。然而，人们最熟悉又应用最多的一种表达复杂时间序列的统计量，就是功率谱。

所谓功率谱，就是对大量轨迹点采样后快速傅立叶变換所得到的谱线，它把复杂的时间序列分解成不同频率的正弦振荡的叠加，任何运动都包含一定的频率结构，一个复杂的信号应该是不同频率的的混合体。由此可见，功率谱具有凢个明显的优势:

（1﹚、可以分析出复杂运动的频率特性﹔

（2﹚、可以区分混沌与噪声，其分辨高达27 次谐波。如当功率谱指数β＝0为白噪声，β＝2为褐色噪声，0.5＜β＜1.5为杂音﹔…。

（3﹚、功率谱是一个可以直接用计算机实验测定的量。

所以，功率谱方法在计算机实验和宏观测量混沌以及分岔中是一种重要方法，感兴趣的读者可以用此方法对彩票的混沌运动进行研究、赏试。

2、庞加萊（Poincare﹚截面法

庞加萊截面法是19世纪庞加萊在没有计算机的情况下提出来的一种方法，这是一个抽象的数学方法，用这种方法对于分析多变量的自治动力学系统运动很有效。

这个方法的要点是:

（1﹚、在多维相空间适当选取一个截面，在此截面上对某一共轭变量取固定值，通过计算机画出庞加萊截面上运动轨迹与此截面的截点，这样原相空间连续轨迹在该截面上便表现为一些离散点之间的映象，可观察其分布，从而得知运动的性质﹔

（2﹚、当庞加萊截面上只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的﹔

（3﹚、当庞加萊截面上是一个封閉曲线时，运动是准周期的﹔

（4﹚、当庞加萊截面上是一些成片的密集点时，运动是混沌的﹔

利用庞加萊截面的研究方法具有几个优点:

（1﹚、将多变量的自治动力学系统至少可以消除一个变量，具有降低原系统阶的作用﹔

（2﹚、可研究全局动力学问题。在低维的问题中，庞加萊截面给出了系统全局动力学的明显而深入的展示﹔

（3﹚、许多常微分方程描述的含混不清的概念，用庞加萊截面来描述变得非常简洁而清晰。

3、李雅普诺夫指数（Lyapanov expoment）分析法

任何混沌运动系统都必须具备一个基本性质，就是对初始条件的敏感依赖性。但是如何定量的描述这一特性? 这就是用俄国数学家李雅普诺夫（A. Lyapanov﹚的名字命名的李雅普诺夫指数。李雅普诺夫指数是定量测定系统混沌程度的物理量。但真正应用在动力学系统理论的研究中，是1964年Henoa和Heiles首次在研究混沌系统的相空间邻近轨道的发散时引用了该指数，1968年李雅普诺夫指数被Oseiedec正式应用在动力系统和各态遍历理论的研究中。由此，我们发现了一共同的特点: 混沌的历史中一些重大发现、杰出研究成果，无论是1963年混沌之父的洛侖兹，还是生态学家罗伯特·梅1974年对逻辑斯蒂映射的研究、1975年李天岩和约克对混沌的科学定义，还是费根鲍姆1978年两个费根鲍姆常数的发现，无不都降临在20世纪60～70年代，这也许是时间的巧合，也许是时代的产物_科学的混沌在地球上诞生!

李雅普诺夫指数，既是研究混沌运动稳定性的定量研究方法，也是判断识别混沌的首推的混沌特征量。李雅普诺夫指数在混沌理论中一般用λ表示。在一维系统Xn+1＝F（Xn﹚中，初始两点迭代后是相互分离还是靠拢，关键取决于导数︱dF/dt︱的值。当︱dF/dt︱＞0，则迭代的两点分开﹔当︱dF/dt︱＜0，则迭代的两点靠拢。但是在不断的迭代过程中，︱dF/dt︱的值时而大于零，时而小于零，并不稳定，使得轨线时而离，时而靠拢。于是为了从整体上看相邻两点的分离情况，必须对迭代次数取平均值，这个平均值正是李雅普诺夫指数λ。即

λ＝lim┬(n→∞)?〖1/n ∑_(i＝0)^(n-1)?ln?〖︱(dF^n （x﹚)/dx ︱_(x＝x_i ) 〗 〗

可见，李雅普诺夫指数λ正表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。

当λ＜0，表示相邻的轨线上的点最终要合并在一起，这对应于稳定的不动点和周期运动﹔

当λ＞0，表示相邻的轨线上的点最终要分离开来，这对应于轨线的局部不稳定，如果轨线还有整体的稳定因素，那么在此作用下将发生反复拉伸与折叠而形成混沌吸引子（又称奇怪吸引子﹚。

所以，李雅普诺夫指数λ可以定量判断一个系统是否发生混沌，也是目前应用最广的、首选识别混沌最重要的混沌特征量。

彩票系统，对于彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn），当λ∞＜μ≤4时，λ大多数大于零，就是说在这个非线性区，绝大多数处于混沌状态，換句话说有少部分λ＜0而处于非混沌的有序状态，所以彩票系统是一个有序与无序的统一体，彩票预测描准的就是λ＜0时的非混沌的有序状态( 即：(1 )、0＜μ＜λ∞ ；(2 )、λ∞＜μ≤4时的少部分λ＜0 ）。（详见第4～7章﹚。

混沌的刻画和主要特征量

对于线性系统，人们常用几何的方法（如在直角坐角中画一条直线﹚进行刻画，也可以用微分方程进行描述。但是对于非线性系统，由于容易出现混沌，很难用一条直线或简单的曲线进行刻画，而是用第一章所介绍的蜘蛛网图进行几何刻画。同样，对于混沌运动的轨迹，如果仍采用线性系统的真实空间或状态空间作轨迹的刻画，便失去了意义。通常只能对非线性系统或具吸引子整体进行一些统计性描述，于是便产生了与传统经典力学所不用的不随时间变化的混沌特征量。換句话说，对于混沌现象的刻画可以采用三种方式:（1﹚、人工几何的刻画，如蜘蛛网图﹔（2﹚、借助计算机进行刻画，如计算机绘图﹔（3﹚、用与时间无关或不显含时间的混沌特征量进行描述。关于混沌的特征量，常用的有李雅普诺夫指数、功率谱、分数维、相空间重构和动力熵或K熵等。李雅普诺夫指数、功率谱、分数维在前面已介绍过，这里仅就动力学熵和相空间重构作一扼要介绍。

1、动力学熵（K熵﹚

熵，是热力学一个主要的物理量，在热力学中为什么要提出这样一个概念? 人们都知道热过程一方面遵守能量守恒定律，另一方面热总是从高温流向低温，这是一个热的转換和传递方向问题，物理学家们总是期望有一个普适标准来判断这个自发过程的方向，根据热力学第二定律自发流动的方向取决于系统初态和终态的差异，所以应该找到一个物理量来描述从初态到终态的变化，用它的变化来表示热自发传递过程的方向。于是1854年物理学家克劳修斯首次找到了这个物理量，1965年他正式把这个物理量定义为熵（s﹚。熵是物理系统状态的函数，又称为的态函数。熵的变化指明了系统自发过程进行的方向。对于一个系统内分子运动的无序或混沌程度，是用熵来定量描述的，一个孤立系统的自发过程，是沿着有序到无序方向进行的，也可以说是沿着熵增加的方向进行的，这就是大家熟悉的熵增加原理。熵最大，意味着最无序。所以与外界环境无任何联系的孤立系统，不可能自发由无序转化为有序的稳定状态。但是，与外界环境存在不断交換物质、能量和信息的远离平衡的开放系统，熵的意义将产生深化。

20世纪50年代俄国数学家柯尔莫果诺夫（A.N.Kolmogorov﹚为了定量描述动力系统的行为，将熵的概念引到动力系统之中。因对概念定义、推广或计算方法的不同，给出了熵多种不同的定义，这些不同形式定义的熵大都己成为信息论和动力学中很重要的特征量。所以把这些熵统称为动力学熵或k熵。感兴趣的读者可以参考有关非线性动力学或熵的专著，这里不再赘述。

2、相空间重构

相空间重构，又叫前面说的时间序列的吸引子重构。是描述混沌的重要特征量或者说刻画混沌的重要方法。时间序列，就是任何事物或系统按时间顺序记彔下来的、最容易收集、度量的一系列数据或观察值，这些按时间顺序排列的一系列数值往往蕴涵着事物或系统在特定环境或特定时间的大量信息，不仅包含了过去而且包含了参与该事物或系统演化的所有变量的大量信息，我们可以用过去和现在的观察数据，构造依时间变化的序列模型，并借助一定的规律推测出来。在研究某个预测对象或解决某一个实际问题时，一般容易遇到两个问题: 一是容易得到一些相等时间间隔的单变量时间序列，而不知道被研究的事物或系统的方程﹔二是想得到组成相平面或相空间至少两个或两个以上变量的时间序列的数据，而通常测得的往往是一个变量的时间序列。要解决这两个问题，就要进行相空间重构。所谓“相空间重构”，就是假设已获得建模物理系统的完整的观察数据，通过对数据进行拟合，建立起时间序列精确的固定不变的模型，在研究或预测过程中不再修改模型参数。利用这种方法可以建立多个非结构模型或非结构预测模型。如彩票的趋势和景气模型、克隆模型、非线性回归模型、黑洞模型、彩票注优化模型等都是用相空间重构建立起来的。

彩票也有特征量，彩票主要的特征量是涨落高度、涨落密度、涨落强度、涨落温度、彩票的逻辑斯蒂映射（彩票吸引子﹚、彩票的指数、彩票的克隆、彩票的分数维、彩票注的优化、彩票的混沌组合、彩票的阀门、…等等。

三个典型的混沌模型

在混沌发展的历史长河中，逻辑斯蒂映射、虫口、人口这三个模型同洛侖兹奇怪吸引子等模型一样最引人注目。这三个模型有三个共同的特点:

（1﹚、简单的方程，古怪的结果﹔

（2﹚、具有多种等价的数学表现形式﹔

（3﹚、涉及数学、生物、生态和社会、经济各个领域，但都以逻辑斯蒂映射模型为原型。所以在介绍混沌运动的属性之前，先解剖一下这三个模型。

一、逻辑斯蒂映射模型

在第一章介绍不动点理论和混沌的历史中，已经谈到生态学中对逻辑斯蒂映射模型的应用。逻辑斯蒂映射有多种形式，既可写成函数形式

y＝kx（1-x﹚

又可写成差分形式

xn+1＝λxn （1-xn﹚

也是一个非常好记忆的关系式，即y（或xn+1﹚等于常数k（或λ﹚乘以其变量x（或xn﹚的补数（1-x﹚或（1-xn﹚。补数，在小学时学过: 某数的补数，等于该数与10之差。这里因x＜1，故补数为（1-x﹚或（1-x﹚。

正因为逻辑斯蒂映射如此之简单，所以逻辑斯蒂映射有一千多年的历史。但是，对逻辑斯蒂映中内涵的数学和物理深奥的意义，却始于20世纪中叶。混沌领域中很多重大发视，如生物、生态中的菌落、种群演化和著名的费根鲍姆常数的重大发现等都产生于逻辑斯蒂映射，并又把逻辑斯蒂映射推向了顶峰。

逻辑斯蒂映射这个简单又具有深奥内涵的变换模式, 很快在数学、物理、微生物、种群、人口、社会等各个领域得到了广泛的应用, 并出现了多种书写形式和等价的变换模式。如《注2》

Pn＋1﹦Pn＋rPn（1－Pn）

P﹦P0 〔1＋r（1－P0／M）〕n

Xn＋1 ﹦μXn（1－Xn）

Xn＋1﹦aXn －bXn2

Xn＋1﹦1－μX2

Xn＋1﹦μ－X2

……………

现代科学的发展表明, 逻辑斯蒂映射不仅经得起理论推导与实踐结合的检验, 而且又被譽为当代最杰出的科学理论中11个伟大方程之一。这11个现代科学之伟大方程, 如果按时间顺序排列, 它们是：普朗克·爱因斯坦方程、六分仪方程E﹦mc2 、爱因斯坦的广义相对论方程、薛定格的波动方程、狄拉克方程、香农方程—杨·米尔斯基方程、德雷克方程、生命的方程＿进化论的数学、逻辑斯蒂映射、莫利纳—罗兰化学方程和CFC问题。《注28》 当今, 无论在理论上, 还是实騐上研究复杂现象、非线性现象, 都常把逻辑斯蒂映射作为原型, 并常写成Xn＋1﹦λXn（1－Xn）的形式。彩票作为一种多体、多元、多形式、多层次、多要素的非线性的复杂现象是否也存在逻辑斯蒂映射的关係, 自然摆在了彩票研究的面前（详见第四章﹚。

逻辑斯蒂映射

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

人们常称它为“简单的方程，古怪的结果”。

所谓“简单”，如果从中学学习过的解方程或者函数概念出发，逻辑斯蒂映射是一个简单的一元二次方程或二次函数

y＝kx（1-x﹚

＝kx –kx2

如果作出它的几何图象，是一个开口向下的抛物线，如图所示。

从y＝kx（1-x﹚＝-k（x -1/2﹚2 +k/4

逻辑斯蒂映射二次函数的几何图象

可见，当x＝1/2时，y取最大值k/4，则抛物线关于直饯x＝1/2对称。

另外，如果假定k∈[0，4] 的常数，x只在区间[0，1] 取值。那么会发现对于给定的k，逻辑斯蒂映射是一个以不均匀的方式拉伸或者折叠在[0，1] 区间。如

令k＝4，

y＝4x（1-x﹚

通过计算我们会发视:

当x从0变刽1/2时，y从0变到1，这个映射显然把[0，1/2 ] 拉长为[0，1]，而当x从1/2变到1时，y又把1变到0，发生了折叠。但将原区间颖倒过来，映射效果是拉长线段[0，1]，使它覆盖[0，1] 线段两次。

如果令k＝3，效果又是拉伸和折叠（详见第一节﹚。当k＜2，映射效果是压缩与折叠。当k＞4，映射的结果将超出[0，1] 区间，多次映射的结果，会使有的x值很快趋于∞。

相反，如果我们说逻辑斯蒂映射“古怪”，是指“简单的方程”可导致“复杂的混沌”，所以西方有的科学家说，混沌就是“简单方程的随机性”，也许就是针对逻辑斯蒂映射而言的。

前面说了，逻辑斯蒂映射如果从函数的角度，它是一个一元函数

xn+1＝f（λ，xn﹚

其中n＝1，2，3，…

λ为实参数

如果写成映射，即

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

n＝1，2，3，…

λ∈[0，4] x∈[0，1]

是区间[0，1] 到区间[0，1] 的迭代。什么叫区间[0，1] 到区间[0，1] 的迭代? 中学代数中已学过，如果α 比b小，数轴上α 到b的一段就记作区间[α，b]，所以区间[0，1] 就是，数轴上从0到1的一段，说xn+1＝f（λ，xn﹚区间[0，1] 到区间[0，1] 的迭代，就是指每次放进去选代的数xn都介于0和1之间，每迭代出来的函数xn+1也都介于0和1之间。只是科学家们对区间[0，1] 更感兴趣，就是说比别的[α，b] 区间更受青睐。因为在[0，1] 区间里的每一个数都具有“占多少100%的问题”，数量关系十分清晰，一目了然。如，区间[0，1] 中的0.1，为10 %，0.85为85 %，0就是0 %，1就是100 %。如果用迭代运算，将xn＝0.3代入得xn+1＝0.76，用“所占的%” 就是原来占30 %的经选代变成了76 %，十分直观。所以区间[0，1] 到区间[0，1] 的迭代广泛地应用在生物学、生态学、物理学和社会学等各个领城。那么，彩票为什么不可以用呢? 所以

彩票的逻辑斯蒂映射

Cn+1=μCn（1-Cn）

也是区间[0，1] 到区间[0，1] 的迭代。

下面我们用迭代运算研究参数λ（又称为控制参数﹚对逻辑斯蒂映射

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

运算结果，有什么影响?

这里，把x限制在0和1之间，记x∈[0，1]，λ限制在0和4之间，记λ∈[0，4]。因为当λ＞4，把Xn ＝1/2代进去，得到的值大于1，就不再是区间[0，1] 到区间[0，1] 的迭代了。

在迭代运算中，我们主要研究不动点和周期点的情况，用ζ表示不动点和周期点。当f（ζ﹚＝ζ，ζ就是不动点，也可以叫1周期点﹔当f（ζ﹚≠ζ，但f（f（ζ﹚﹚＝ζ，即迭代两次回到原处，ζ就是2周期点﹔…同样以此类推可得到3周期点，4周期点，…n周期点。

下面分0≤ζ≤3、3＜λ＜λ∞、λ∞＜λ≤4三种情况进行分析。其中λ∞＝3.269945672…，为参数λ的极限。经过分析，我们发现

当λ∈[0，3]，为定态区

当λ∈[3，λ∞]，为倍周期区

当λ∈[λ∞，4]，为混沌区

1、0≤ζ≤3

在这个区间，如果按1个不动点和2个不动点来划分，又可分成0≤ζ≤1和1＜ζ≤3两个区。

（1﹚、0≤ζ≤1

我们发现，无论x的初值在区间[0，1] 内取何值，最终x→f（ζ﹚＝0，如令Xn ＝0.5代入

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

每次迭代的Xn＋1值逐渐減小，并最终趋近于零。即

0.50000（0﹚→0.25000（1﹚→0.18750（2﹚→0.15234（3﹚→0.09955（4﹚→0.00964（5﹚→0.08160（6﹚→…→0.01895（46﹚→0.01859（47﹚→0.01824（48﹚→…0.01728（51﹚→0.01698（52﹚→0.01669（53﹚→…→0（∞﹚。括号内的数表示迭代次数。

这就是说，逻辑斯蒂映射在区间[0，1] 内只有一个满足ζ＝f（ζ﹚＝0的平衡态或不动点，无论参数λ等于多少，0代进去永远等于0。这种情况，在数学上称逻辑斯蒂映射将ζ映射为自身﹔在物理上称这个平衡态是稳定的。无论在区间[0，1] 内x等于多少，总有x→ζ＝f（ζ﹚＝0，因为只有1个不动点，所以又叫贫乏的不动点。

（2﹚、1≤ζ≤3

很容易发现，在这参数区间[1，3] 存在2个不动点，一个是ζ＝0的不动点，另外还有一个ζ＝1-1/λ 的不动点。因为

将ζ＝1-1/λ 代入 Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

得 λζ（1－ζ）＝λ（1－1/λ）［1－（1－1/λ）］＝1－1/λ＝ζ

即迭代的结果得到的还是ζ，说明只要λ＞1，ζ＝1-1/λ 就是一个不动点。

值得注意的是: 还要考察不动点的稳定性。在数学上ζ＝0，与物理学、生物学上的近似等于零ζ＝0.0001≈0或ζ＝0.0000001≈0是有区別的。所以一定要研究当取近似值时，迭代系统的稳定性问题。我们很容易发现，当λ＞1时，0这个不动点是不稳定，就是说只要和0差一微大的一点，长期迭代下去就会差得很远。如令λ＝2，用Xn＝0.0001代入Xn＋1﹦λXn（1－Xn），其结果是:

0.0001（0﹚→0.00019998（1﹚→0.00039988（2﹚→…→0.168089657（10﹚→…→0.481147171（13﹚→…→0.499998989（15﹚→0.5000（16﹚→0.5000（17﹚→0.5000（18﹚。

这就是说，当λ＝2时，ζ＝0的不动点是不稳定的，而ζ＝1-1/λ＝0.5这个不动点是稳定的，即λ＝2，ζ＝1-1/λ＝0.5的系统是平衡态。而所有的λ＞1的ζ＝0的不动点，事实证明都是稳定的。

2、3＜ζ＜λ∞

这个区间开始复杂起来，为了更好的理解，我们又分成3＜λ≤1+√6 和1+√6＜λ＜λ∞ ，其中λ＝1+√6＝3.449489743，是系统2分为4的分岔过程的分岔点。

（1﹚、3＜λ≤1+√6

很容易发现，当λ＞3，ζ＝1-1/λ 这个不动点也变得不稳定。令λ＝31/3，ζ＝1-1/λ＝1 -3/10＝0.7是个不动点，但只要差一点，如0.669代入迭代运动，其结果是

0.669（0﹚→0.73813（1﹚→0.64431（2﹚→…→0.83022（15﹚→…→0.83028（21﹚…→0.83027（23﹚→0.46972（24﹚→0.83027（25﹚→0.46972（26﹚→0.83027（27﹚→0.46972（28﹚→…

即在第23次迭代以后出现2周期点

┌→0.83024→┒

└0.46972←–┘

可见，0.669并不收敛于0.7，而是在2个周期点（0.83024与0.46972﹚不断重复，说明当λ＝31/3 时，2个不动点0.83027、0.46972是稳定的。

（2﹚、1+√6＜λ＜λ∞

这时，当参数λ继续增大，如λ＞1+√6＝3.449…时，原来出现的2周期点也不稳定了，情况就和参数λ＞3时的1周期点（即不动点﹚不稳定一样。当λ＞30544…时，4周期点也不稳定了，取而代之的是8周期点，以此类推，随着参数λ继续增大，又会出现16周期点→32周期点→64周期点→128周期点→…→2n周期点→…，这样继续下去，就是著名的倍周期现象，又叫倍周期分岔或倍周期联级。

值得注意的是，倍周期过程是无穷的:1→2→4→8→16→…→2n→…，这样继续下去总有一个极限值λ∞ 。即

λ∞＝3.269945672…

符号“∞”是无穷大的意思。可以想象，随着迭代次数m的不断增加，λ1、λ2、λ3、λ4、…λm、…，越来越接近λ∞ ，这时这个迭代的稳定解是2^∞的周期解，2的无穷次方冪是无穷大，就是说周期为无穷大，无穷大的周期等于沒有周期，其实是非周期解。

3、λ∞＜λ≤4

前面说了，当λ为λ∞ ，2^∞的周期解是非周期解，非周期解是什么意思? 就是当参数为λ为λ∞时，系统已处于混沌状态。所以，当λ∞＜λ≤4时，系统进入混沌区，如图。

倍周期分岔导向混沌

综上所述，逻辑斯蒂映射可分为三个区: 定态区（λ∈[0，3 ]﹚、倍周期区（λ∈[3，λ∞]﹚、混沌区（λ∈[λ∞，4 ]﹚。如图所示，λ ≤λ1为定态区，λ1＜λ＜λ∞为倍周期区，λ∞＜λ≤4为混沌区。经过对逻辑斯蒂映射的迭代运算，使我们具体地、深刻地理解到了“混沌就是简单方程的随机现象”。一个简单的一元二次抛物线方程，经过迭代运算，却从简单到复杂、从规矩到古怪，出现了定态→周期→倍周期→混沌的过程，因周期和倍周期也是一种定态现象，所以逻辑斯蒂映射随着参数λ的递增，系统从有序→无序。经过计算机还发现，在混沌区也不是完全的无序。 当λ∞＜λ≤4时，多数是混沌的。但在混沌区正如前面所说，混沌区仍有窗口，窗口之中又有窗口，每个窗口都会出现一个层次的运动情况，像俄罗斯套娃一样，一个套着一个，尺寸则一个比一个小，这样无穷的套下去，便产生了无穷嵌套的自组织精细结构，存在着无序中的有序和有序中的无序，所以说混沌是无序与有序的统一体，是一个高级的混沌序。

虫口模型

逻辑斯蒂映射在生物学中的应用，最典型的是著名的虫口模型。这是一个描述昆虫世代变化的动力学模型。这个模型是这样建立的: 虫口模型是反映昆虫数量变化的数学模型，然而昆虫繁殖在生物进化的生存竞争中是十分复杂的，有的产卵有的不产卵，有的又死亡，有的又繁殖，甚至代际交叠…等。在自然科学中，建立模型一般从特殊的情况开始，为了抓住主要矛盾，必须作一些假设，把一些次要的排出，以突出主要的或把复杂的变成简单的，先建立简单的数学模型，然后再加进一些复杂的因素，不断地修正、完善模型，使模型逐渐逼进真实世界。

假设有某种昆虫，每年夏季成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子，其间不存在代际交叠。设第n年后的虫口数目为xn ，每只成虫平均产卵a个，这样年复一年地重复下去，第n+1年后的虫口数目为xn+1 ，应该与xn 成正比，比例常数为a

x_n/x_(n+1) ＝a 即

Xn+1 ＝axn

这是一个线性差分方程，如果一年一年的从最开始的某年昆虫数目x0 算起，到第n年，xn 应等于

Xn ＝x_0 a_0^n

其中，x_0 是起始年度的虫口数目

从上式可以看出，只要a＞1，就是说只要每年虫子平均产卵数多于1个，虫口数目就会按指数上升，这样不断繁殖下去，要不了多久整个地球就会虫满为患了。相反，如果a＜1，虫口数目就会按指数递減，可以想象，要不了多久整个地球又昆虫灭绝了。显然，这个线性的虫口模型，不符合实际情况。

如何把这个在特殊情况下建立的线性模型，变成符合实际情况的非线性模型呢? 我们应进一步分析一下虫满为患的具体过程: 首先昆虫生成的空间和食物是有限的，不可能无限制的繁殖，如果再考虑昆虫之间、昆虫与其他动物之间的生存斗争（如咬死、咬伤、…﹚、传染病、天敌等多种因素，虫口的数量会減少，而线性模型只考虑了增长的因素，未考虏減少的因素，所以要修正Xn ＝x_0 a_0^n模型，必须考虑一个帶负数的（-bx_n^2﹚这个因子。设第n年虫口的增加数为axn ，減少数为bx_n^2，则

Xn ＝axn – bx_n^2

这就是非线性的虫口模型。

为什么用xn的二次方呢? 因为xn只虫子配对的事件总数为(x_n （x_n-1﹚)/2，那么当xn>>1时，这基本上就是x_n^2。所以考虑昆虫数量減少这个数学因子（-bx_n^2﹚是科学家们理性思维的结果，而不是数学演绎的结果。当然，这种理性思维是否正确，还需要实践的检验。但是，当一个虫口数量变化的模型，既考虑了鼓午（增加﹚的因素，又考虑了抑制（減少﹚的因素，正反映了“过犹不及”的效应，具有更普遍的意义和用途。

可是，虫口的非线性模型只反映了第n年虫口的数量，反映不了第n年到第n+1年的虫口数量变化，数学家们常用差分形式把Xn ＝axn – bx_n^2 写成等价的形式。

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

这显然是一个生态学中的逻辑斯蒂映射。与Xn ＝axn – bx_n^2 比较，变量Xn 和参数λ或a作了重新的定义。即

λ∈[0，4] x∈[0，1]

为什么生物学家们要把Xn ＝axn – bx_n^2 变成逻辑斯蒂映射的形式? 正如前面所说，逻辑斯蒂映射是一个世界11个伟大的方程之一，用这种差分和离散的形式更能形象直观地描述昆虫从第n年到第n+1年的虫口繁殖数目变化规律。如前面在逻辑斯蒂映射模型中已分析:

当0≤λ≤1时，只有一个贫乏的不动点ζ＝f（ζ﹚＝0，表示繁殖为零﹔

当0＜λ≤3时，表示虫口数量逐渐增加并趋于一个稳定值﹔

当3＜λ＜λ∞时，虫口数量呈倍周期变化，这种变化在客观世界比较常见，它表示虫口数目以2年为周期，呈现多寡交替。如生猪产量在中国大陆某些地区也是以2年为周期起落，果树的收成往往分“大年”和“小年”，以2年为周期輪換，…﹔

当λ∞＜λ＜4，虫口繁殖，因动植物生物键的形成，生存斗争十分激烈，便显得异常复杂了﹔

当λ＝4，即在区间λ∞＜λ≤4的最边上时，存在着周期为任意整数的解，并且全部都是不稳定的。虫口繁殖到这种程度是不可能的，实际为全部灭亡。

人口模型

人口问题，是世界各国普遍关注的问题。有报道说，几十年后世界人口将达到80亿，人们担心到那时地球上的资源特别是粮食和能源能否支特这一庞大的人口。因此人口问题也引起了数学家、物理学家和社会学家的注意。数学家们用数学描述人口增长至少可追溯到18世纪。1978年英国经济学家马尔萨斯（MalthusT.R﹚发表了《人口论》，引起了人们广泛的注意。他认为，人口总是按几何级数增长，而生产资料总是按算术级数增长，当人口增长到地球资源（如粮食和能源﹚仅能维持生存的极限时，就会出现饥饿、战争和疾病。

对马尔萨斯人口论有不同的评价和看法，但从积极的意义上看，有两点引起了人们的关注: 一是向人类提出了警告，目前生育现状蕴藏着潜在的危险﹔二是他提出的数学模型过于简单，类似银行复利公式。即

P＝P0（1+r﹚n

其中 P0表示初始人口，P表示几年后的人口量，n表示时间（年﹚

如果用微分方程表示为

dy/dt＝ky

y（t﹚＝y0 e^(k（t-t_(0 )﹚)

其中k是随时间变化的常数

无论用复式公式还是微分方程。都显示人口呈指数形式增长。如果按此公式进行计算，2515年全世界人口将是2000000亿，2623年为18000000亿，2660年为36000000亿。这个数字是什么意思? 我们知道整个地球约80 %为水覆盖，到那时我们生活在船上，因为到2515年每个人将仅有0.87m2 ，2625年仅有0.09 m2 ，到2660年每个人肩上还得站两个人。显然，这个模型不切合实际，那么如何修改和完善这个模型呢?

1938年Verhulst提出了人口的逻辑斯蒂映射用微分方程表示

dx/dt＝kx（1-x/M﹚

用指数函数表示为

P＝P0 [1 + r（1 -P_0?M﹚]n

其中M为环境容纳量（M＞0﹚，指在所描述的环境中最多能允许生存的种群数量（或密度﹚。马尔萨斯期人口模型中的人口增长率为r，且r＝r1 –r2 ，r1与r2分别表示人口出生率和死亡率。而人口的逻辑斯蒂映射中的增长率＝r（1 -P_0?M﹚n ，P0为初始人口。如果比较这两个模型的增长率，不难看出，逻辑斯蒂映射人口模型的增长率比马尔萨斯人口模型中的人口增长率多了一个数学因子（1 -P_0?M﹚，实际上多考虑了一个负增长的P_0?M因子，相当于“生物幅员/环境容量”。这个因子是科学家们科学思维的结果而非演绎的结果，因为增加了因子（1 -P_0?M﹚后，便可反映人口正增长和因生存环境所产生的负增长的现实。如，

当人口幅员P0減小时，P_0?M ＜1，则（1 -P_0?M﹚＞0，这时P＞P0 ，为人口正增长﹔

当人口幅员P0＞M时，P_0?M ＞1，则（1 -P_0?M﹚＜0，这时P＜P0 ，为人口负增长。

所以，人口的逻辑斯蒂映射比马尔萨斯人口模型更逼近现实世界，但仍存在较大的误差。不过，由于许多生物的的生长率在实验室较准确地符合逻辑斯蒂映射模型，所以虽然人口的逻辑斯蒂映射模型并不是描述人口结构的最好方法，但是仍被生物学家、生态学家所看重，仍被各国甚至联合国用于预测人口的重要工具，只是要不断地增加一些因素，不断地修正，或者改变变量、参数或者重新选择坐标。因此，人口的逻辑斯蒂映射模型也有多表达方式。 如

dx/dt＝kx（1-x/M﹚

P＝P0 [1 + r（1 -P_0?M﹚]n

dy/dt＝ay – by^2

Xn＋1﹦λXn（1－Xn）

………

通过对逻辑斯蒂映射模型、虫口模型和人口模型的建立和解剖，已从不同自然现象和社会现象中发现了逻辑斯蒂映射的普遍性和强大的威力，不愧为世界11个伟大方程之一﹔同时，也为如何建立、剖析、掌握和应用彩票的逻辑斯蒂映射模型打下了坚实的基础，要熟悉、掌握彩票的混沌属性，应该从学习逻辑斯蒂映射开始。