作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
Part1简单的证明
定理的原证明并不繁琐，但把书上的证明抄下来太没意思，所以我的期望是，把定理成立的直观性显现出来就行了. 所以我考虑最简单的情况——当积分区域是矩形.
不妨以点为原点，为轴建系如图，设矩形边长，很容易写出一组对边的参数方程：
考虑这组对边上的积分之和，注意到，将上面参数带入下面积分：
<左右划动>
为了保证对的积分存在，我们需要假设在单连通区域内连续；同理可得另一组对边上的积分和：
故在矩形上有，
这样一来，利用黎曼积分的思想，我们可以利用小矩形逼近更一般的区域 D，通过一些简单的分析技巧，就可以证明格林公式在 D上依然成立.
我们先来研究一下微分形式
考虑一特殊情况，若其为某函数的全微分
也就是说
此时，我们称微分形式是恰当的. 那么原积分就表示为
最后一步是因为是定义在闭合曲线上的连续周期函数，周期为. 我们再看格林公式的右边：
事实上，这也是存在的充要条件. 于是格林公式在这一特殊情况天然成立. 此时的积分不依赖于路径，这是为什么呢？因为一旦在闭路上积分为零，那么我们就可以在任意给定的积分路径上添加新的路径，并且使之成为一个闭路：
所以只要起点与终点确定，积分路径走哪条都可以. 我想到了一个几何解释：让我们回到格林公式的证明：
如图，当沿着积分时，所求得的结果是许多绿色切片体积之和的相反数，在切片的任意一个面积微元内（观察黄色方块）
假如，非常巧合的是，与一起张成整个曲面，那么就有
于是就有
<左右划动>
在此情况，格林公式的右边总是为. 而对于一般情况，与不在一张曲面上，如下图，在面积微元处的积分比在面积微元处的积分多（少）了蓝色虚线部分的柱状体积，所以此时在局部积分非.
Part2外微分解释
我们称，为形式，也就是标量函数；形如是-形式；形如是-形式……外微分实际上就是从-形式到-形式的线性变换
其中
这个映射和普通微分没有区别。关于外微分、外乘积我就不多做介绍了，只要知道两个性质就可以：
于是对求外微分
我们令，则格林公式可写作广义的斯托克斯公式
这个公式实际上统一了牛顿、格林、斯托克斯、高斯四大积分公式！此公式的形式本身就蕴含着丰富的信息：外微分在区域内部的积分仅仅取决于在区域边界的取值。可以证明，存在这样的向量空间同构，
其中是标量场，是向量场，于是从上图中我们可以看出梯度、旋度、散度事实上就是在求各阶外微分.
Part3物理意义
紧承上文所述，在区域内部的积分居然取决于区域边界. 这在物理界倒是常有的事. 比如在一保守场（重力场、电场、磁场等）内做功，只和做功的起点与终点有关. 再例如计算流量、磁通量等对象时，需要考虑在一个特定区域内的积分（比如通过一管道内的流量），积分的结果只与区域边界有关.
– END –
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